光量子系统的对称方程

在“用度量概念来建立狭义相对论”一文已经说明，粒子的光量子系统的振荡能量是洛仑兹变换的结果，对于自由粒子的光量子系统，在粒子相对运动的坐标系观察，粒子必然存在振荡能量，反过来，观察到振振荡能量,就必然存在着粒子与坐标系之间的相对运动。

坐标系为静止系，假设系为粒子的相对静止系，为粒子的原点。坐标系相对坐标系以速度运动。从系考察，粒子处于振动状态，振荡能量为，。

在粒子中心的周围区域取小体积元，在内，是粒子的速度，在内不变。下标中表示曲度度规度量的读数，下标中表示平度度规度量的读数。

在粒子中心的周围区域，物质分布不均匀，光量子质点的速度，振动能量。

是用平度度规度量的光量子密度读数，它是常数。是用曲度度规度量的速度读数。

在高等数学中有函数，， ,.

从经典力学的观点：粒子的质量集中在粒子的中心，，

从量子力学德布罗意假设和广义相对论的观点：。这也即：

。

。由此得到：在积分符号下，与可以相互代替， 而得到的是用曲度度规度量在0点整个粒子的经典值。

按照又可以得到：

。

和都是用曲度度规度量在0点整个粒子的经典值。

同样，对于任意函数，也可以有：

。

也是用曲度度规度量在0点整体的经典值。我们不妨称这为原理。以后我们将常用到。现在讨论粒子的振荡频率。上文已述：在粒子中心较近的周围区域，光量的子振动能量。

对于整个粒子：，

推导过程中是近似为光量子分布曲面曲率线的曲率半径。推导过程中用到上述的原理。其中，都是按上述的原理而得到的0点的物理量。是等几率矢量，取坐标系的矢径：矢量为轴作局域坐标系，可得。“”是一个前述的常数。令，则。

现在回到量子力学，量子力学中自由粒子的态函数是：

, 但现在。

现在引进“辅助动量”，使。。为粒子的质量。

引进“辅助动量”后,按量子力学有：。。

其中, , 。

同样：。

其中, , 。

令, 按上式有：。

自由粒子的态函数是： ，, 。

, , 。

上文有，上文已得到 , 和,

，

上文已有：，

，

而上面已经得到:。于是得到：。由此得到粒子的波动方程：

,  其中。

自由粒子是球对称性的，用球坐标系表示: ,

。选择适当的单位，可认为。令，则方程为：。

其中为角动量量子数第三分量,即磁量子数. 它对应粒子的电荷。

方程（1）即自由粒子的波动方程，方程（2）即自由粒子在球坐标系表示的波动方程。

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