1.对称的等几率矢量和破缺:

坐标系中, 以任意点为起点的矢量，在一段极短时间内，它的方向不断变化，并且任意一个方向都是等几率出现的，这样形成一个无穷多个矢量的组合（N=1，

2 ，……），定义这样的一组矢量为一个等几率矢量。

当等几率矢量（N=1，2 ，……）在一定的时间间隔内，它们的长度相等，

, 则定义这样的一组矢量为对称的等几率矢量。

当等几率矢量（N=1，2 ，……）的长度不一定相等，在一定的时间间隔内，

, 则定义这样的一组矢量为破缺的等几率矢量。

须要说明的是，一定的时间间隔应该是一个很小、很小的时间隔，。我们讨论的光量子系统有关的问题中，光量子的速度是每秒三十万公里，在粒子内部，光量子由于相互碰撞，速度的方向变化是非常、非常之快的。完全可以认为它们是一组等几率矢量

坐标系为静止系，坐标系相对系静止。系的一组对称的等几率矢量, 从静止系来考察, 仍是对称的等几率矢量。 如果

系相对系以的速度运动，则系里的这组对称的等几率矢量，在系考察时, 而等于一个方向与一致或相反的矢量。这时就说

系里的对称的等几率矢量，在系里发生了破缺。这种破缺称之为相对运动破缺。

在物质分布不均匀的曲度空间中, （这里所指的曲度空间即爱因斯坦广义相对论中的曲度空间，是物质分布不均匀的空间。） 设坐标系

为静止系，坐标系为系里的局部坐标系, 系的一组对称的等几率矢量, 在系考察时, 因为各个方向的法曲率不同, 曲度不同,

,这组对称的等几率矢量在系考察时发生破缺, 这种破缺称之为相对曲度破缺。

在以静止系的原点为中心的库仑场中，一个电子绕中心旋转，角动量的方向是等儿率出现的，，是一组对称的等几率矢量。对

某些磁性物质，如果引入磁场，在磁场的曲度空间中, 这时对称的等几率矢量发生了相对曲度破缺。

粒子的光量子质点在分布曲面切面的切线方向上运动着, 当分布曲面是球面时, 速度矢量是对称的等几率矢量. 当分布曲面不是球面时, 由

于各个方向的法曲率不同, 测度不同, 速度矢量不再是对称的等几率矢量, 而发生了相对曲度破缺.

粒子的同位旋角动量是粒子绕穿过这个粒子中心旋转的角动量. 旋转轴是空间的等几率矢量轴。角动量是空间的等几率矢量。如果旋转

时, 是对称的等几率矢量. 如果粒子有运动速度，或者周围存在磁场等等，, 对称的等几率矢量发生破缺. 此时

。对一个粒子来说, 粒子对外呈现同位旋磁矩。

一个粒子包含着个光量子质点，（）。粒子光量子质点的自旋角动量是光量子质点绕穿过光量子质点自身的直线轴旋转的角动量. 旋

转轴是空间的等几率矢量轴。自旋角动量是空间的等几率矢量. 如果旋转时, 是对称的等几率矢量. 如果旋转时, 对称

的等几率矢量发生破缺。粒子的自旋角动量是粒子内部个光量子质点的自旋角动量之和，。对一个粒子来说, 即粒

子对外呈现自旋磁矩。式中表示粒子中光量子质点的总数。

2．把实数、虚数、函数用等几率矢量来表示。

在复平面中轴为实轴,轴为虚轴。但在空间我们可以用轴表示一个实数，也可以用轴、轴表示一个实数，也可以在空间用任一矢量

为实轴表示一个实数。在空间中任一矢量为实轴, 虚轴则分布在轴的垂直平面上. 虚轴即此垂直平面上的等几率轴. 同样，在空间中任

一矢量为虚轴, 实轴则分布在轴的垂直平面上. 实轴即此垂直平面上的等几率轴。只有把设定的坐标轴看作等几率轴，引入等几率轴、

等几率矢量的概念，才能完整地表示出复空间的实体。譬如：

一个电子绕库仑埸中心旋转, 电子的态函数的图象是球贝塞尔函数，而电子的实际轨迹是环绕中心的电子云。只有把坐标系的

一个轴，如轴看作等几率矢量轴，把轴看作空间的等几率矢量而建立起的坐标系及图象，这样去认识它，使球贝塞尔函数立体化，才能反

映电子运动和分布的实际轨迹。对于函数，我们往往必须选用等几率轴来建立起坐标系及它的图象的概念，才能反映质点运动和分布的实际

轨迹。

纯数学的空间，它是脱离参照物的空间，它的基的方向是任选的，可以把它看作是一组等几率矢量，或者说它的主轴是等几率轴。如果引入

某个参照物，如一条有方向的直线，或某些物理条件（如场），这样的空间是一个物理空间。物理空间的基或者主轴，不再是等几率矢量，

而赋予确定的方向，物理空间是一个有确定方向的空间，它是纯数学空间的一种破缺。

3.对称等几率矢量的矢量化。

对于一组对称的等几率矢量，我们往往把它分成正负两组矢量。这就如同数轴一样。任一数轴确定原点以后，轴上点的右边为正，左边

为负。对于对称的等几率矢量，同样也是这样，确定原点和过点的平面以后，平面的上半空间的等几率矢量为正，下半空间为负。（或与

此相反）。以运动的质点（光量子）为例，运动方向指向平面，在平面上方的质点为入射光量子。而运动方向离开平面，在平面下方的质点

为出射光量子。由于从能量和动量来考察，它们对外的作用是不同的，是应该分别加以计算。射向平面，运动方向在平面上方（）的

质点是输入能量或动量。射离平面，运动方向在平面下方（）的质点是输出能量或动量。统计它们振动的能量和动量时，只须取半个

空间。再以光量子自旋为例，的方向指向平面的上半空间的光量子自旋角动量为正，的方向指向平面的下半空间的光量子自旋角动量为

负。把一组对称的等几率矢量分成了方向相反的两个部分，即对对称的等几率分成（）和（）两个部分进行积分，形成两个矢

量，并只取其中一个矢量，这样的运算定义为对称等几率矢量的矢量化。

然而，分成两个部分进行积分，两个部分的分界面是可以按照实际情况取的。往往取某个切面的方向。积分的0轴的方向是与积分求和范围的分界面的垂直方向。另一种方式是积分的0轴的方向可以按照实际情况取的，可以是平行另外一个已知矢量的方向，或平行于另一组对称等几率矢量的矢量化后的矢量方向，此时积分求和范围的分界面的方向是与积分0轴的垂直方向，按照后一种方法，这样两组对称等几率矢量，它们矢量化后的矢量方向可以同步相同。这就是所谓两个矢量实现了“几率同步”。“几率同步”是我们这个课目的一个重要课题。

任一个光量子的运动方向，动量方向是任意的，是一组对称的等几率矢量。但当两个光量子碰撞时，须要实现对称等几率矢量的矢量化，一个光量子为入射粒子，另一个光量子为出射粒子。对每个光量子矢量化时，两个光量子碰撞时的动量的积分界面是与碰撞方向的垂直方向，积分的0轴的方向是碰撞方向。有时候往往把两个光量子碰撞的方向总取作x轴的方向或某个曲面的切线方向。

不仅两个对称等几率矢量矢量化后的矢量方向可以同步相同。若干个，甚至一群，一大群对称等几率矢量矢量化后的矢量方向可以分别同步

相同。以粒子的自旋为例，一个粒子包含个光量子质点（），而每个光量子质点的自旋角动量是绕穿过各个光量子质点自身的等几率

直线轴旋转的对称等几率矢量。每个光量子质点的自旋角动量也是对称等几率矢量，个微观质点的对称等几率矢量经矢量化后的矢量方